Luas Segitiga

KEMBALI mencoba nulis serius. Mumpung senggang (padahal tidak) mari menulis ulang penurunan persamaan luas segitiga yang hanya diketahui sisi-sisinya. Spoiler: ini tulisan benar-benar serius, dan yang menuliskan persamaan ini belum tentu dapat kembali menuliskannya tanpa melihat contekannya.

segitiga

Perhatikan segitiga ABC di atas. Diketahui AB = c, AC = b, BC = a, dan tinggi = t. p merupakan jarak dari A ke D.
Langkah pertama adalah menghitung t^{2} dari segitiga ACD, yakni t^{2}=b^{2}-p^{2}. Setelah itu cari nilai p dari segitiga BCD.

begin{eqnarray*}
a^{2} & = & t^{2}+(c-p)^{2}\
a^{2} & = & (b^{2}-p^{2})+c^{2}-2pc+c^{2}\
a^{2} & = & b^{2}+c^{2}-2pc\
2pc & = & b^{2}+c^{2}-a^{2}\
p & = & frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}
end{eqnarray*}

Setelah didapat nilai p, substitusikan lagi ke phytagoras t^{2}.

begin{eqnarray*}
t^{2} & = & b^{2}-p^{2}\
& = & b^{2}-frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}
end{eqnarray*}

Ingat bahwa a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b), sehingga

begin{eqnarray*}
t^{2} & = & left(b+frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}right)left(b-left(frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}right)right)\
& = & left(frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2c}right)left(frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2c}right)\
& = & left(frac{left(b^{2}+2bc+c^{2}right)-a^{2}}{2c}right)left(frac{a^{2}-left(b^{2}-2bc+c^{2}right)}{2c}right)\
& = & frac{left(left(b+cright)^{2}-a^{2}right)left(a^{2}-left(b-cright)^{2}right)}{4c^{2}}\
& = & frac{left(b+c+aright)left(b+c-aright)left(a+b-cright)left(a-b+cright)}{4c^{2}}
end{eqnarray*}

Diketahui bahwa keliling segitiga adalah K = a+b+c = 2s . Dengan melakukan substitusi didapat:

begin{eqnarray*}
t^{2} & = & frac{left(2sright)left(2s-2aright)left(2s-2cright)left(2s-2bright)}{4c^{2}}\
t^{2} & = & frac{16sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}{4c^{2}}\
t & = & sqrt{frac{4sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}{c^{2}}}\
t & = & frac{2}{c}sqrt{sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}
end{eqnarray*}

Kembali ke segitiga di atas, luas segitiga itu bisa dicari dengan cara:

begin{eqnarray*}
Ltriangle & = & frac{1}{2}ccdot t\
& = & frac{1}{2}ccdotfrac{2}{c}sqrt{sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}\
& = & sqrt{sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}
end{eqnarray*}

Dengan begitu, luas segitiga itu adalah: L=sqrt{sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}

Ada komentar?

%d bloggers like this: