Tentang limit tak hingga

Selalu ada yang baru ketika saya kembali belajar matematika. Tepatnya ketika belajar kalkulus 1, materi yang saya ajarkan di kampus.

Sebagai lulusan s1 matematika, seharusnya materi kalkulus sudah khatam dan hapal di dalam kepala. Tapi ya karena kapasitasnya yang begitu-begitu saja, untuk beberapa materi, pahamnya susah banget. Salah satu materi yang sering dibikin bingung adalah tentang limit.

Secara ringkas dan menggunakan bahasa manusia, limit adalah materi tentang pendekatan. Mendekati sesuatu tanpa harus sampai di objek yang dituju. Masalahnya, saya tak cukup ahli dalam hal dekat mendekati -termasuk mendekati perempuan ehhh.

Dan materi limit itu cukup luas. Dari yang mudah diselesaikan, hingga yang sulit diselesaikan. Salah satu materi yang sering dibuat bingung adalah tentang limit menuju tak hingga.

Konsep tak hingga sendiri sebenarnya sudah cukup membingungkan. Apa itu tak hingga? Secara sederhana tak hingga adalah sesuatu yang sangat besar sekali (jika positif) atau sangat kecil sekali (jika negatif).

Misal kamu punya bilangan x yang diklaim merupakan bilangan terbesar. Tapi saya punya bilangan yang lebih besar dari x, yakni x+1. Artinya, si x bukan lagi yang terbesar. Begitu terus sampai kiamat.

Kembali ke limit tak hingga.
Ada dua macam limit yang melibatkan tak hingga ini. Yakni limit yang menuju tak hingga atau yang hasilnya menuju tak hingga. Kita bahas yang limit menuju tak hingga saja.

Di buku-buku pelajaran, cara mengerjakan limit di tak hingga ini ada beberapa metode. Terutama untuk soal limit pecahan dan yang melibatkan akar.

Untuk yang melibatkan pecahan, biasanya akan memanfaatkan teorema berikut:

\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{c}{x^{r}}=0

Dan jika melibatkan akar, biasanya pakai aturan perkalian sekawan. Contohnya seperti berikut.

\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}  =  \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\times\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\    =  \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\    =  \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\    =  \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1}}\\    =  \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{0}{1+1}=0

Namun saya kesulitan ketika mengerjakan soal limit \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}-x . Kalau digambar hasilnya menuju tak hingga alias membesar tanpa batas. Tapi kok pas dikerjakan hasilnya bukan tak hingga? Salah di mana?

Setelah konsultasi ke grup angkatan di wasap dan ke teman yang sedang menuntut ilmu kanuragan di negeri sakura, akhirnya saya (sedikit) tercerahkan.

Jadi saudara-saudara, berhati-hatilah ketika mengerjakan soal limit yang melibatkan tak hingga ini. Terutama untuk limit berbentuk akar.

Alih-alih menggunakan metode sekawan, seharusnya kita periksa dulu, apakah limit itu menuju ke satu nilai tertentu atau membesar/mengecil tanpa batas. Lihat contoh ini ya supaya jelas. Kerjakan limit ini.
1. \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}+ x\\  2. \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}-x

Nah, alih-alih langung menggunakan metode sekawan atau metode lain, kata teman saya, seharusnya langkah pertama adalah mengecek dulu itu persamaan. Apakah persamaan itu menuju ke satu nilai atau membesar atau mengecil tanpa batas. Caranya bagaimana?

Caranya dengan melakukan ‘substitusi’ tak hingga ke persamaan tersebut. Jika menghasilkan ∞ + ∞ (atau -∞-∞) berarti hasilnya sudah pasti ∞ (atau -∞) alias tak punya limit. Namun jika hasilnya ∞ – ∞ berarti ada kemungkinan punya nilai yang dituju. Kita lihat soal nomor 1.

\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}+x = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}+\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x}=\infty-\infty

Karena hasilnya ∞ – ∞, artinya kemungkinan ada nilai, maka kerjakan dengan metode yang sudah dipelajari.

Sekarang soal nomor 2.

\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}-x = \underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}\sqrt{x^{2}+x+1}-\underset{x\rightarrow-\infty}{\lim}x=\infty+\infty

artinya sudah pasti menuju tak hingga alias tak ada nilai limitnya. Sehingga kita tak perlu repot-repot mencari dengan metode sekawan atau yang lainnya.

Ya, begitulah kira-kira.

2 Thoughts.

Ada komentar?

%d bloggers like this: